USP, Álgebra Linear 1, 2018.1, P1, Q1
Se , é correto afirmar que o sistema linear
- Possível e indeterminado se, e somente se, ;
- Possível e determinado se, e somente se, e ;
- Impossível se, e somente se, ;
- Possível e determinado se, e somente se, ;
- Impossível se, e somente se, ;
Passo 1
Faaaaala, pessoal! Para avaliar sistemas como esses, devemos montá-lo na forma matricial, separando os coeficientes em colunas, e escaloná-lo. Se ao final do escalonamento, ainda tivermos todas as linhas não-nulas, então o sistema é possível e determinado. Do contrário, temos que avaliar condições como:
Se , o sistema é possível e indeterminado, contudo se e , o sistema é impossível.
Passo 2
Nesse pique, considere a forma matricial do sistema:
No algoritmo do escalonamento, podemos aplicar 3 tipos de operações: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar e, ainda, somar linhas. Estas visam fixar elementos não-nulos na diagonal principal e zerar os outros até que se obtenha o máximo de zeros possíveis. Assim:
Para não espalhar muito os lugares em que temos a incógnita , vamos abrir em casos. Repare que a última linha indica que seria interessante analisarmos :
Como temos uma linha nula, o sistema já não pode ser determinado. Contudo observe que conseguimos escrever a 1ª e 2ª incógnita em função da 3ª:
Logo, o sistema seria possível e indeterminado.
Passo 3
Por outro lado, se , veja que , logo podemos dividir a última linha por esse valor:
Novamente, vamos abrir em casos em prol da última linha. Se , veja que , logo o sistema é impossível.
Passo 4
Contudo, se e , dividimos a última linha e:
A primeira linha indica que devemos abrir em casos novamente. Se , o sistema torna-se:
A primeira linha indica que o sistema é impossível. E se , o sistema tem todas as linhas não-nulas e não se pode reduzir, logo é possível e determinado.
Passo 5
Assim, se , o sistema é possível e determinado, se , o sistema é impossível, enquanto implica sistema possível e indeterminado.
Resposta
- Possível e indeterminado se, e somente se, ;