Sistemas Lineares
Considere o sistema de equações e incógnitas.
Qual das seguintes situações não pode acontecer?
, nenhuma solução
, mais de uma solução
, nenhuma solução
, solução única
Passo 1
Avaliar as letras e é simples, é só lembrar de um exemplo!
Olha só esse sistema :
E tem infinitas soluções!
Se você for olhar, tanto como como são soluções do sistema.
Isso acontece porque a segunda equação é o dobro da primeira.
Agora veja esse:
Ele não tem solução, porque se , então para quaisquer e que eu escolher vai ser ! Nunca vai ser !
Então é evidente que se o sistema pode ter mais de uma solução, assim como também pode não ter nenhuma.
Passo 2
Vamos agora ver o caso em que , quando temos mais incógnitas que equações.
Eu posso fazer algo parecido com o passo para ver que nesse caso o sistema pode não ter solução.
Por exemplo:
Ora, esse sistema não pode ter solução, porque se , então !
Não é? Nunca vai poder ser igual a .
Se eu colocar um ali no lugar do , ele vai ter infinitas soluções, o que também é possível quando temos mais incógnitas do que equações. Então a letra é possível.
Mas será que existe um caso em que e o sistema tem solução única?
Passo 3
Usando nosso macetinho de equações e variáveis temos que a dimensão do conjunto solução é dada pelo número de variáveis menos o número de equações ! Então, se é o número de equações (linhas) e é o número de variáveis (colunas), e , temos:
Chegamos à conclusão que a dimensão do conjunto solução desse sistema sempre será maior ou igual a 1! Logo, a solução nunca vai ser única 😉. Ela será uma reta, um plano, ou qualquer outro espaço de dimensão maior que .
Resposta
Letra .