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Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

USP, PSUB, 2019, Q8

Sejam α ,   β   ∈ R . Sobre o sistema linear

x + y + z = 0             x + β y + z = α       x - β y + β z = α

Nas incógnitas x , y , z , é corretor afirmar que

a )   s e   β = 1 , então o sistema tem exatamente uma variável livre

b ) o sistema é compatível, para α   e   β quaisquer

c ) não existe valor de α   e   β para os quais o sistema seja compatível indeterminado

d ) se o sistema for compatível indeterminado, então α = 0   e   β ≠ 1

e )   o sistema é compatível determinado se, e somente se, β ≠ 1

Passo 1

Falaaaa, blz??? Bora começar essa questão analisando cada uma das alternativas, indo pela letra a primeiro

a )   s e   β = 1 ,   e n t ã o   o   s i s t e m a   t e m   e x a t a m e n t e   u m a   v a r i á v e l   l i v r e

Para testar essa afirmação, vamos fazer β = 1 e ver o que acontece.

x + y + z = 0             x + y + z = α             x - y + z = α          

Veja que subtraindo as duas últimas, temos:

x + y + z - x - y + z = 0

y = 0

Reescrevendo o sistema com essa informação:

x + z = 0             x + z = α             x + z = α          

Veja que daqui tiramos que x = - z

Daqui já vimos que não existem exatamente uma variável livre, bora para a próxima

Passo 2

b )   o   s i s t e m a   é   c o m p a t í v e l ,   p a r a   α   e   β   q u a i s q u e r

Nosso objetivo aqui é jogar algum α   e   β e tentar fazer o sistema não possuir solução.

Veja que se jogarmos β = 1   e   α = 1 teríamos:

x + y + z = 0             x + y + z = 1       x - y + z = 1

As duas primeiras equações já mostram que o sistema não faz sentido, logo não possui solução.

Passo 3

Agora bora para a terceira afirmação

c )   n ã o   e x i s t e   v a l o r   d e   α   e   β   p a r a   o s   q u a i s   o   s i s t e m a   s e j a   c o m p a t í v e l   i n d e t e r m i n a d o

Essa alternativa é falsa, basta olhar o que fizemos na letra (a), naquele caso achamos infinitas soluções.

Passo 4

Agora, poderíamos ver a letra d ou letra e, porém, veja que a letra D envolve duas informações, ou seja, fica mais fácil analisarmos a letra E para chegar na resposta, pois podemos variar a outra variável para checar se a afirmação tá certa

e )   o   s i s t e m a   é   c o m p a t í v e l   d e t e r m i n a d o   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   β ≠ 1

Nessa afirmação, vamos tentar achar de fato a solução para o sistema e ver se ela existe e é única para β ≠ 1

x + y + z = 0             x + β y + z = α       x - β y + β z = α

Da primeira, temos que x = - y - z , colocando na segunda e terceira:

- y - z + β y + z = α       - y - z - β y + β z = α

Ou seja

- y + β y = α                                     - y - β y + β z - z = α

Da primeira, temos que y = α β - 1 , para β ≠ 1 , ou seja, para existir o valor de y dependemos de β ≠ 1 , bora continuar com esse fato e ver se achamos x e z, se sim devemos ficar felizes kkkk, bora la

Bora colocar esse valor de y na segunda equação

- α β - 1 - β α β - 1 + β z - z = α

Somando as duas primeiras parcelas

- α - β α β - 1 + z β - 1 = α

z β - 1 = α + α + β α β - 1 = α β - 1 + α + β α β - 1 = 2 α β β - 1

Ou seja:

z = 2 α β β - 1 2

Como temos que x = - y - z =   - α β - 1 - 2 α β β - 1 2 = - α β - 1 - 2 α β β - 1 2 = - 3 α β + α β - 1 2

Ou seja, deu tudo certo, conseguimos achar uma única solução para o sistema, pois podemos tratar α   e   β constante. Porém, como foi dito anteriormente, para acharmos isso supomos que β ≠ 1 , logo a letra E tá certa

Agora vamos para a próxima questãozinha??

Resposta

Letra E

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Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4