USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 5
Seja um inteiro positivo, e sejam e . Denote a matriz transposta de por . Utilizando a notação matricial para sistemas lineares, está correto afirmar que
Escolha uma:
a) Se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções
b) Se tem apenas a solução trivial, então tem apenas a solução trivial
c) Se tem uma única solução, então tem infinitas soluções
d) Se não tem solução, então tem apenas a solução trivial
e) Se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções
Passo 1
Oii galera, vamos lá pra mais uma?
Nesse exercício, vamos analisar alternativa por alternativa ok?
Mas basicamente, estamos falando de sistemas lineares envolvendo matrizes transpostas 😉 e o que precisamos lembrar para analisar as alternativas é:
- Se possui infinitas soluções, então
- Se não possui solução, então
- Se tem apenas a solução trivial, então
- Se tem apenas uma solução, então
- O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta
Belezinha? Então vamos lá fazer as análises
Passo 2
A alternativa A diz que se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções
Bom, se tem infinitas soluções, então
Ta bem, já sabemos que o determinante de vale . Mas isso quer dizer que ou ele tem infinitas soluções ou ele não tem nenhuma. Repara lá nas informações do passo 1, os dois casos têm o determinante igual a .
Então não podemos afirmar com toda a certeza do mundo que também vai ter infinitas soluções, né?
Essa alternativa está erradaaaa
Passo 3
A alternativa B fala que se tem apenas a solução trivial, então tem apenas a solução trivial
Bem, a gente sabe que se tem apenas a solução trivial, então e
Se o determinante é diferente de , com certeza o sistema só possui a solução trivial. Então, commm certeza o possui só a solução trivial também
A alternativa B está correta 😊
Passo 4
Vamos ver porque as outras alternativas estão erradas
A letra C diz que se tem uma única solução, então tem infinitas soluções
Mas se tem uma única solução, então e . Então não pode ter infinitas soluções, porque o seu determinante teria que ser
A letra D diz que se não tem solução, então tem apenas a solução trivial
Se não tem solução, então . Logo, tem infinitas soluções ou não tem nenhuma
A letra E fala que se tem infinitas soluções, então tem infinitas soluções.
Temos que . Mas assim como na letra A, pode acontecer de ter infinitas soluções ou não ter nenhuma, certo?
Então, a alternativa correta é a letra B mesmo 😉