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Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

USP, 2019.1, P1, Q1

Sejam a , b   ∈ R   e considere as afirmações sobre o sistema linear

a x + b z = 2                               a 2 x + a 2 y + 4 z = 4 a 2 y + 2 z = b                            

nas incógnitas x,y,z:

I .     S e   a = 0 ,   o   s i s t e m a   n ã o   t e m   s o l u ç ã o ,   q u a l q u e r   q u e   s e j a   b   ∈ R

I I .   S e   a b = 2 ,   o   s i s t e m a   t e m   i n f i n i t a s   s o l u ç õ e s .

I I I .   S e   a ≠ 0   e   a b ≠ 2 ,   o   s i s t e m a   t e m   u m a   ú n i c a   s o l u ç ã o .

Passo 1

Falaaa, tranquilo??? Vamos começar essas questões envolvendo número de solução de um sistema. Bom, para resolver questões assim a abordagem mais comum é escrever a matriz associada ao sistema e escalonar.

a 0 b a 2 a 2 4 0 a 2 2               2 4 b → a 0 b a 2 0 2 0 a 2 2               2 4 - b b   → a 0 b a 0 2 a 0 a 2 2               2 4 - b a b  

→ a 0 b 0 0 2 a 0 a 2 2 - b               2 4 - b a b - 2   →   1 0 b a 0 0 2 a 0 1 2 a 2 - b               2 a 4 - b a b a 2 - 2   →

1 0 b a 0 1 2 a 2 0 0 2 - b a a               2 a b a 2 4 - 2 b - 2 a a

Para começarmos a analisar, veja que na segunda seta do escalonamento nós supomos que a ≠ 0 , mas vamos analisar esse caso.

Passo 2

Se a   = 0 , olhando para a x + b z = 2                               a 2 x + a 2 y + 4 z = 4 a 2 y + 2 z = b                           temos que:

b z = 2 4 z = 4 2 z = b

Tiramos que z = 1   ∴ b = 2

Ou seja, por exemplo, temos que ( 1,1 , 1 ) é solução quando a = 0   e   b = 2 , logo a afirmação (I) está errada.

Agora olhando para a última linha da matriz escalonada nós temos que se 2 - b a a = 0 é impossível

Ou seja, se a b = 2   → S e m   s o l u ç ã o

Passo 3

Agora, se a b ≠ 2 e a ≠ 0   teremos uma única solução, pois serão 3 linhas escalonadas não nulas.

Resposta

Letra A

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Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4