O valor de a ∈ R para que o sistema

x + y - 2 z = 3   x - y + 3 z = - 2 x + 3 y - a z = 8

Nas incógnitas x , y , z , tenham infinitas soluções é:

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Essa é uma questão clássica sobre escalonamento para achar soluções. Vamos começar a fazer o processo e no decorrer ficará mais claro o que queremos.

1 1 - 2 3 1 - 1 3 - 2 1 3 - a 8         L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 - L 1 →       1 1 - 2 3 0 - 2 5 - 5 0 2 - a + 2 5

Fazendo L 3 = L 3 + L 2 :

1 1 - 2 3 0 - 2 5 - 5 0 0 - a + 7 0  

Passo 2

Agora nós já conseguimos achar a resposta, pois o que essa matriz nos diz é:

x + y - 2 z = 3                                       0 x - 2 y + 5 z = - 5                         0 x + 0 y + z - a + 7 = 0

Passo 3

Nossa intenção é deixar pelo menos uma das coordenadas sendo indiferente para solução, como no caso do sistema acima, se a = 7 nosso termo z ganha maior liberdade e nosso sistema se reduz em:

x + y - 2 z = 3 - 2 y + 5 z = - 5

Das equações:

x = 3 - y + 2 z

y = 5 z + 1 2

Logo, nossa solução é x , y , z = ( 3 - 5 z + 1 2 + 2 z ,   5 z + 1 2 , z ) , ou seja, para cada z teremos soluções distintas.

Resposta

Letra A

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