Considere um sistema linear com m equações em n incógnitas. Pode-se afirmar que:
(a) Se , a solução, se existir, será única.
(b) Se , a solução, se existir, não será única.
(c) Se , a solução, se existir, será única.
(d) Se , a solução, se existir, não será única.
Passo 1
Vamos supor então que temos um sistema linear com m equações e n incógnitas.
Vamos analisar dois casos:
I –
II –
Passo 2
Se m > n, temos mais equações que incógnitas. O que pode acontecer é:
(i) Não há solução: nesse caso, uma das equações é inconsistente com as demais. Vamos ver um exemplo no pra ficar claro:
Considerando apenas o sistema formado pelas duas primeiras equações, encontramos que e , mas a terceira equação nos dá , logo o sistema é impossível.
(ii) Existem infinitas soluções: Vamos olhar o seguinte sistema também no
Com essas equações, achamos , mas não fixamos qualquer valor para y! Então qualquer valor de y satisfaz o sistema, e ele possui infinitas soluções.
(iii) A solução é única: Nesse caso, não há qualquer inconsistência entre as equações, e uma delas é apenas combinação das outras. Vamos ver o exemplo:
A terceira equação é obtida somando as duas primeiras, e a solução é aquela que já vimos antes: e
Então, quando temos mais equações que incógnitas, a solução, se existir, pode ou não ser única. Com isso já vemos que as letras (a) e (b) estão erradas.
Passo 3
Vamos considerar agora n > m, ou seja, temos mais incógnitas que equações. O que pode acontecer agora??
(i) Existem infinitas soluções: Vamos olhar o seguinte sistema no :
Temos 3 incógnitas a determinar, que são x, y e z.
Com essas equações, achamos e , mas não fixamos qualquer valor para z! Então qualquer valor de z satisfaz o sistema, e ele possui infinitas soluções.
(ii) Não existe solução: nesse caso, vai haver uma inconsistência entre as equações que temos. Por exemplo, olha esse sistema no :
De novo vamos precisar determinar x,y e z. Pelas equações dadas, a solução é impossível, pois x assume valores distintos ao mesmo tempo.
Quando o número de incógnitas é maior que o número de equações, não conseguimos ter solução única.
Só há dois casos possíveis: a solução não existe ou a solução existe e não é única.
Por isso, a resposta correta é a letra (d).
Resposta
(d) Se , a solução, se existir, não será única.