UFRJ, P3-2019.1
Se e , calcule a soma dos elementos de :
Passo 1
Belezoca galerinha, o enunciado disse pra gente que e
Mas calma lá, porque o bizu master aqui é que a gente pode lembrar do processo que usamos para encontrar um autovetor. Seja um autovetor da matriz , temos que o autoespaço associado é dado por:
Onde serão os autovetores associados ao autovalor .
Passo 2
Belezoca, agora que a descobriu o segredo da Álgebra, podemos associar ao nosso exercício. Quando ele diz que , na verdade ele tá falando que:
Ou seja, o vetor é um autovetor associado ao autovalor .
E fazendo o mesmo raciocínio com , temos que:
Portanto é o autovetor associado ao autovalor .
Passo 3
Mas agora que começa a brincadeira, porque pensa aqui comigo, a gente que encontrar a soma de todos os elementos da matriz, então seja:
Queremos encontrar:
Ou seja, se por acaso a gente fizesse a multiplicação pelo vetor , teríamos:
Isso quer dizer que se gente multiplicar a matriz , pelo vetor , o resultado, vai ser a soma dos elementos de , SÓ QUE a gente viu no Passo 2 que o vetor é um autovetor de associado ao autovetor . Logo, temos que:
Portanto, temos que a multiplicação é:
Logo:
Resposta certa, letra (a)
Resposta
Letra (a).