USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 11
Seja uma matriz real e suponha quesejam raízes do polinômio característico de . Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:
(a) é um autovalor de;
(b) possui um autovalor complexo com multiplicidade geométrica igual a ;
(c) não possui autovalores reais;
(d) é diagonalizável sobre ;
(e) não é diagonalizável sobre .
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!
Começando pela primeira. Se , então o polinômio característico de tem grau , ou seja tem raízes. Mas como o enunciado diz que são raízes desse polinômio (são autovalores) temos que também são raízes, pois as raízes complexas sempre vem em pares com seus conjugados complexos. Logo a afirmação é verdadeira
Passo 2
A segunda afirmação diz que possui um autovalor complexo com multiplicidade geométrica igual a ;
Como vimos no passo anterior que tem quatro autovalores complexos distintos logo a multiplicidade geométrica de cada autovalor é , e não . Por isso essa afirmação é falsa.
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
b)