Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

(c) Seja T : V → V uma transformação linear. Se T 2 = T , então - 1 é autovalor de T.

Passo 1

Seja v um autovetor de T associado ao autovalor λ .

Então, pela definição:

T v = λ v

Elevando T ao quadrado:

T 2 v = T T v = T λ v

Como a transformação é linear, podemos colocar o λ pra fora:

T 2 v = λ T v = λ λ v = λ 2 v

Passo 2

Mas foi dito que T 2 = T .

Então temos também que:

T 2 v = T v = λ v

Igualando os dois resultados:

λ 2 v = λ v

λ 2 v - λ v = 0

λ v λ - 1 = 0

Então:

λ = 0

ou

λ = 1

Ou seja, os dois autovalores possíveis são 0 e 1.

Por isso, a afirmação é falsa.

Resposta

(c) Falso.

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