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Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

P3 - Álgebra Linear II – Questão 8

Seja T :   R 3 → R 3 a transformação linear dada por T ( x ,   y ,   z )   =   ( 2 x ,   x   +   z ,   z ) . Assinale a alternativa FALSA:

(a) ( 0 ,   1 ,   1 ) é um autovetor de T associado ao autovalor 1 .

(b) Os autovalores de T são 0 ,   1   e   2 .

(c) ( 0 ,   1 ,   0 ) é um autovetor de T associado ao autovalor 0 .

(d) Se d e t ( T   -   λ I )   ≠   0 , então λ é um autovalor de T .

(e) Não sei.

Passo 1

E aí, galerinha!

Como que foi essa P3 aí!?

O produtor tá aqui pra ajudar a responder todas as questões dessa prova!

Portanto, bora pra oitava questão!

Passo 2

Bom! A matriz T é dada por...

T = 2 0 0 1 0 1 0 0 1

Vamos calcular os autovalores...

det ⁡ T - λ I = 0

det ⁡ 2 - λ 0 0 1 - λ 1 0 0 1 - λ = 0

- λ - λ + 2 - λ + 1 = 0

λ = 0,1   e   2

Logo a alternativa ( b ) está correta!

O autovetor associado ao autovalor 1 é dado por...

2 - λ 0 0 1 - λ 1 0 0 1 - λ x y z = 0 0 0

1 0 0 1 - 1 1 0 0 0 x y z = 0 0 0

x = 0 x - y + z = 0 0 x + 0 y + 0 z = 0

Com isso, obtemos que...

x , y , z = 0 , y , y = y ( 0,1 , 1 )

E ( 0 , 1,1 ) é o autovetor associado! Logo, a alternativa ( a ) está correta!

O autovetor associado ao autovalor 1 é dado por...

2 - λ 0 0 1 - λ 1 0 0 1 - λ x y z = 0 0 0

1 0 0 1 - 1 1 0 0 0 x y z = 0 0 0

x = 0 x - y + z = 0 0 x + 0 y + 0 z = 0

Com isso, obtemos que...

x , y , z = 0 , y , y = y ( 0,1 , 1 )

Passo 3

O autovetor associado ao autovalor 0 é dado por...

2 - λ 0 0 1 - λ 1 0 0 1 - λ x y z = 0 0 0

2 0 0 1 0 1 0 0 1 x y z = 0 0 0

2 x = 0 x + z = 0 z = 0

Com isso, obtemos que...

x , y , z = 0 , y , 0 = y ( 0,1 , 0 )

E ( 0 , 1,0 ) é o autovetor associado! Logo, a alternativa ( c ) está correta!

Passo 4

A única alternativa que não tem cabimento nenhum aí, é a alternativa ( d ) . d e t T   -   λ I =   0 é o requisito básico pra se achar um autovalor!

Resposta

Letra ( d )

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