Seja um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, e seja um operador linear diagonalizável cujos autovalores, listados sem repetição, são . Para cada , seja , em que denota o operador identidade de . Considere as seguintes afirmações:

1. Se para todos e distintos e todos e valer , então é simétrico.
2. A união de bases ortonormais dos subespaços para é uma base ortonormal de .
3. Se a matriz de , em relação a alguma base de , for simétrica, então é um operador simétrico.

Então,

Escolha uma opção:

1. Apenas 1 e 2 são verdadeiras
2. Apenas 1 é verdadeira
3. Apenas 2 é verdadeira
4. 1, 2 e 3 são verdadeiras
5. 1, 2 e 3 são falsas
6. Apenas 3 é verdadeira
7. Apenas 1 e 3 são verdadeiras
8. Apenas 2 e 3 são verdadeiras

Faaaaala, pessoal! Sabendo que são, por definição, os espaços gerados pelos autovetores de , uma vez que se , temos:

Além disso, sendo diagonalizável, temos que existe uma base de formada por autovetores as quais formam as colunas de , com sendo a matriz diagonal que contém os autovalores, tal que:

Vamos uma afirmativa de cada vez:

1. VERDADEIRA: Toda vez que falarmos de operador diagonalizável simétrico, estamos falando de matriz de autovetores ortogonal: . O que só é possível se houver um conjunto ortonormal de autovetores. Os conjuntos de autovetores são são subespaços finitos gerados pelos autovetores, logo cada um deles tem uma base a qual pode ser ortonormalizada pelo Processo de Gram-Schimdt de forma que todos tenham bases ortonormais.

Pela hipótese, , temos:

Assim, unindo as bases ortonormais de , teremos autovetores normais e ortogonais entre si (e portanto L.I.). Como sabemos que a soma direta desses espaços:

Temos que a união das bases de gera todos os elementos de , como também é L.I., esta união é uma base. Assim, existe base ortonormal de autovetores de , tal que é simétrico.