USP - Sem Campus - Álgebra Linear II - 2016 - P2 - Questão 9
Considere as bases:
e
de , e seja o operador linear tal que:
Se denotam os autovalores de , então é:
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é muito bacana, pois iremos usar vários assuntos para resolvê-la. Vem comigo!
Para resolvermos essa questão precisamos calcular os autovalores da nossa transformação linear , mas não sabemos que é . O enunciado só nos diz quem é . Vamos usar a relação entre matriz e transformação linear para obtermos !!!
Passo 2
No passo anterior, falei que vamos usar a relação entre matriz e transformação linear. Mas que relação é essa mesmo? Vamos relembrar!!!!
Dessa forma, precisamos obter a matriz que representa a transformação linear . Pelo teorema ela é:
Ou seja, estamos transformando os vetores de para a base e depois aplicando a transformação linear que leva da base para .Lembraram do teorema?
Passo 3
Bem, como vimos nos passos anteriores, precisamos calcular os autovalores da matriz que representa o operador linear . E para isso, precisamos obter que é dada por
Mas quem seria ? Lembram da definição dessa matriz? Vamos revisar!!
A matriz é a matriz onde suas colunas são os vetores da base representados na base .Vamos construir essa matriz.
A primeira coluna de será e a segunda coluna será . Então:
Resolvendo o sistema obtemos que:
Calculando
Resolvendo o sistema obtemos que:
Agora vamos usar esse resultado para obter Conseguiram acompanhar até aqui? Então vamos em frente!!!!
Passo 4
Fizemos bastante conta até agora, mas já estamos terminando a questão 😊. Usando o resultado dos passos anteriores descobrimos que
Em forma matricial
Ufa. Agora vamos calcular os autovalores de . Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Que é obtido calculando . Então:
E tem como raízes
Logo a soma dos autovalores será , hehe!
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊