UFRJ, P3-2019.1
Seja uma matriz simétrica com autovetores e , associados respectivamente aos autovalores e . Seja , com e ambos não nulos e positivos; e seja . Assinale a alternativa verdadeira:
- é negativo e é, aproximadamente, o triplo de
- é negativo e é, aproximadamente, o triplo de
- é positivo e é, aproximadamente, o triplo de
- é positivo e é, aproximadamente, o triplo de
Passo 1
Show de bolinhas galera, o enunciado forneceu pra gente os autovalores e os autovetores da matriz , e quer saber o resultado de:
Onde é formado pela combinação linear entre dois autovetores de , e :
Mas saca só, uma matriz, seu autovetor e seu autovalor se relacionam de acordo com a equação:
E o bizu matador aqui, é que quando isso acontece, podemos transferir a potência da matriz para o autovalor, desse jeito:
Passo 2
Irados, então passando para nosso caso, temos que:
Logo, elevando a nossa potência de , temos que:
E distribuindo essa matriz, temos:
Só que e são autovetores associados aos autovalores e 3 respectivamente. Então temos:
Logo, descobrimos que:
Passo 3
Belejóia, então se a gente trocar os vetores, vamos ter que:
E como o enunciado garantiu pra gente que e são ambos não nulos e positivos, temos que é positivo e é, aproximadamente, o triplo de :
Letra (d).
Resposta
Letra (d).