PUCRIO, G4-2019.2
Considere a reta em de equação paramétrica
e a transformação linear
Espelhamento em relação a reta .
- Determine uma base ortonormal de formada por autovetores de , e determine os respectivos autovalores.
- Determine a matriz da transformação linear na base ,
- Determine a matriz da transformação linear na base canônica de .
Passo 1
Show de bolinhas galera, na letra (a), a gente quer encontrar uma base ortonormal de formada por autovetores de , e seus respetivos autovalores. Dito isso, sabemos que é um espelhamento através de um plano, e todo espelhamento possui duas características principais:
- Quando a matriz for aplicada a um vetor que pertence a reta , ele permanecerá na reta
- Agora para o plano ortogonal a reta , quando a matriz for aplicado nos vetores e que formam esse plano, eles serão espelhados tal que:
Logo, o vetor será um autovetor associado ao autovalor
Portanto, os vetores e serão autovetores associados ao autovalor .
Show de boleta, então já temos um autovetor e falta encontrar os outros dois, pra isso a gente pode lembrar que também é o vetor normal do plano, tal que podemos escrever o plano como:
Portanto os autovetores e que geram o plano, respeitam a equação acima. Então podemos ver, que pelo menos um desses vetores pode ser dado por:
Afinal se a gente jogar ele na equação , vamos obter:
Logo ele é um dos nossos autovetores, e de sobra ele também já é ortogonal a , já que:
Então pra gente encontrar o terceiro autovetor, é só a gente fazer o produto vetorial entre os dois já existentes, dessa forma vamos encontrar o autovetor e ainda de quebra ele já vai ser ortogonal. Saca só:
Logo os autovetores são:
Passo 2
MAAASS, queremos uma base ortonormal, isto é, além dos vetores da base serem ortogonais entre si, eles precisam ter módulo/norma iguais a . Então precisamos apenas normalizar nossa base de autovetores que já é ortogonal, e pra isso basta a gente dividir os vetores pelo seu módulo, desse jeito:
Logo:
E os autovalores são e .
Passo 3
Na letra (b), queremos encontrar a matriz , maaassss a malandragem aqui é que acabamos de encontrar e vimos que ela é uma base ortonormal de autovetores, e SEMPRE que a gente escrever nossa matriz numa base ortonormal de autovetores, ela vai ser igual a uma matriz diagonal com os autovetores na diagonal principal:
Como vimos, temos que apenas dois autovalores, e , mas o autovalor possui dois autovetores associados a ele, portanto ele se repete duas vezes como autovalor, tal que:
Passo 4
Belezoca, agora na letra (c), queremos encontrar a matriz na base canônica. Como temos apenas a base , podemos mudar a base de para através da relação:
Onde é a matriz que possui os vetores da base nas colunas:
Mas como nossa matriz é uma matriz ortogonal, ela possui a propriedade de que:
Logo:
Portanto, nossa mudança de base fica assim:
E resolvendo essa multiplicação de matrizes, obtemos que: