Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.

1. Existe uma transformação linear tal que é autovetor associado ao autovalor , e .
2. Existe uma transformação linear injetora .
3. Se é uma base de , é uma base de , e são tais que

Então é invertível (Obs. ).

Para verificarmos se existe uma transformação linear que satisfaça as condições dadas, vamos precisas utilizar duas propriedades de transformações lineares.

A primeira delas nos diz respeito a linearidade da operação. A transformação da soma é a soma das transformações, isto é:

Já a outra está associada a autovetores e autovalores. Seja um autovetor associado ao autovalor , sabemos que:

Bom, agora que relembramos estas operações, vamos utiliza-las. Para isto, precisamos checar uma relação entre os vetores , e . Esta relação é:

Ao aplicarmos o operador transformação linear, temos:

Lembrando que o vetor é autovetor com autovalor associado 2, vamos agora utilizar os valores das transformações ditas no enunciado da questão. Portanto,

Percebam que o resultado obtido é uma mentira. O vetor não é . Portanto, o enunciado é falso!