UFRJ, P3-2019.1
QUESTÃO EXTRA
Seja , , uma matriz com autovetores , e , respectivamente associados aos autovalores e . Seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e . Analogamente, seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e e, finalmente, seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e :
- Se , então
- Se , então
- Se , então
- Apenas III é verdadeira.
- Apenas I é falsa.
- Apenas I é verdadeira.
- Apenas II é falsa.
- Apenas III é falsa.
- Apenas II é verdadeira.
Passo 1
Show de bolinhas galerinha, então essa que é a tal Questão Extra. Vamos ver se ela é isso tudo mesmo rsrs
Vamos com carinho aqui, saca só, o enunciado disse pra gente que , e são os autovetores dos autovalores e respectivamente.
Dado isso, ele afirma que é um plano afim e paralelo ao plano gerado por e , ou seja, se o plano é afim quer dizer que ele passa pela origem, e além disso é paralelo ao plano gerado por e , isso é, e são os vetores diretores do plano . Iradoso, sabendo disso, a gente pode escrever a equação parametrizada do plano, desse jeito ó:
Onde é um ponto qualquer do plano , que pertence também a . Além disso, e são os coeficientes da combinação linear (parâmetros) entre e para gerar o plano.
Maneiríssimo, então seguindo essa mesma linha de raciocínio podemos escrever a equação parametrizada dos planos e :
Belezoca, agora que a gente sabe a cara dos planos, podemos analisar cada afirmativa pra ver se realmente fazem sentido.
Passo 2
Se liga só, na afirmativa (I) ele diz que se , então .
Mas calma aí meu patrão, porque a gente conhece a cara do plano , então se esse vetor pertence ao plano, ele é da forma:
E a malandragem agora tá no ponto , porque esse ponto pertence ao plano MAAAASS ele também pertence ao espaço . E como temos autovetores distintos , e , quer dizer que esses autovetores também são uma base de , e se eles são uma base, eu posso escrever esse ponto como uma combinação linear desses vetores, tal que:
Maravilha então a gente pode juntar essa informação na nossa equação de :
Dando mais arrumadinha, temos que:
E aqui vale a pena a gente reparar que temos um vetor diferente dos vetores da base de .
É o vetor , ele é acompanhado pela constante , e isso significa que o plano cruza o eixo de em .
Passo 3
Mec Mec mais Mec que o Big Mec! Agora a gente pode fazer a aplicação sem medo de viver, bora lá:
Passando para dentro, temos:
E agora tirando as constantes para fora, temos que:
E agora que fica divertido, porque , e são autovetores de , isso quer dizer que podemos trocar a operação que faz, pelo respectivo autovalor. Desse jeito ó:
Mas agora repara ali nos vetores da base de , e . Eles estão acompanhados pelas constantes e respectivamente. Só que o interessante é que elas não deixaram de ser constantes, então podemos chamar elas, sei lá, de e , que aí teríamos:
Ou seja, o vetor pertence ao plano gerado pelos vetores e e cruza o eixo de em . Exatamente igual ao plano . Logo podemos concluir que . Afirmativa verdadeira.
Passo 4
Chuchu beleza então pessoal, agora na afirmativa (II), ele diz que se , então . E podemos seguir a mesma linha de raciocínio que fizemos na afirmativa (I). Temos que esse vetor vai ter a cara:
O ponto pertence ao plano e também pertence a , por isso ele segue o mesmo padrão do ponto :
Então reescrevendo nosso vetor, temos:
Reorganizando os termos, temos:
A gente pode reparar agora que o vetor diferente dos vetores da base é o , isso quer dizer então que o plano cruza o vetor diferente , em .
Então aplicando a transformação no vetor , temos desse jeito ó:
Passando as constantes pra fora da transformação, temos:
Substituindo a transformação pelo respectivo autovalor, temos:
E olha a maldade ali, repara que agora o vetor diferente está acompanhado da constante , e isso significa que cruza o eixo de em , MAAASSSS o plano cruza o eixo , somente em . Isso significa que o vetor quando submetido a transformação , é deslocado do plano . Logo
Afirmativa (II), falsa.
Passo 5
E na afirmativa (III) galera, vamos ter algo muito, muito, muuuito parecido com a afirmativa (II) do Passo 3 e 4, a não ser que agora o nosso vetor diferente será o , que possui o autovalor associado . E quando aplicado a transformação , vai fazer nosso vetor se deslocar na direção de , levando ao deslocamento para fora do plano . Afirmativa (III), falsa.
Resposta certa, letra (c).
Resposta
Letra (c).