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Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Autovalores e Autovetores de uma TL

Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear dada por T x , y , z = 2 x , x + z , z . Assinale a alternativa FALSA:

a   0,1 , 0 é um autovetor de T associado ao autovalor 0 .

b   Se det ⁡ T - λ I ≠ 0 então λ é um autovalor de T .

c   Os autovalores de T são 0 , 1 e 2 .

d   0,1 , 1 é um autovetor de T associado ao autovalor 1 .

Passo 1

Vamos testar a a e a d que são mais fáceis!

A a diz que:

T 0,1 , 0 = 0 ∙ 0,1 , 0 = 0,0 , 0

E de fato,

2 ∙ 0,0 + 0,0 = 0,0 , 0

A d diz que:

T 0,1 , 1 = 1 ∙ 0,1 , 1 = 0,1 , 1

Então:

2 ∙ 0,0 + 1,1 = 0,1 , 1

Então essas duas são verdadeiras.

Passo 2

c Já confirmamos que 0 e 1 são autovalores da T L , falta verificar se o 2 é! Primeiro achamos a matriz que representa a T L :

T x , y , z = 2 x x + z z = 2 0 0 1 0 1 0 0 1 x y z

T = 2 0 0 1 0 1 0 0 1

Pra achar os autovalores basta encontrarmos as raízes do polinômio característico:

p λ = d e t ⁡ ( A - λ I )

Então temos:

A - λ I = 2 - λ 0 0 1 0 - λ 1 0 0 1 - λ

Por Laplace temos:

det ⁡ A - λ I = 2 - λ - 1 2 0 - λ 1 - λ = 2 - λ 0 - λ 1 - λ

Se igualarmos a 0 veremos que 0 , 1 e 2 são de fato autovalores! Essa é verdadeira!

Passo 3

b Só sobrou essa pra ser a falsa né? Mas porque? Bom, ela fala exatamente o oposto do que vimos! Para achar os autovalores da transformação temos que resolver:

det ⁡ T - λ I = 0

Assim achamos os autovalores λ . Mas a letra está falando exatamente o oposto! Ta dizendo que tem que ser diferente de 0 . Então é falsa!

Resposta

Letra b

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