UFRJ, P3-2019.1
Sejam e matrizes quaisquer, e , respectivamente. Assinale a alternativa correta:
- possui um autovetor em .
- possui um autovetor em .
- Existe uma base de formada por autovetores de .
- Existe uma base de formada por autovetores de .
Passo 1
Falaa aii galerinha, bora lá resolver essa questão. Saca só, as únicas informações que enunciado deu pra gente é que existem duas matrizes quaisquer e, que são e , respectivamente. E a partir disso temos que tirar algumas conclusões.
Na letra (a), ele afirma que possui um autovetor em . Show de bola, a condição para uma matriz possuir um autovetor em , é a existência de autovalores REAIS. Ou seja, se não houverem autovalores reais, então os autovetores reais também não irão existir! Sabendo disso, para encontrar um autovalor, precisamos do polinômio característico, onde as raízes desse polinômio serão os autovalores.
E é aí que fica a malandragem, porque não precisamos descobrir quem é esse tal polinômio característico, já que a matriz é , o polinômio característico é de grau E um polinômio de grau , nem sempre possui raízes reais, por exemplo:
Nesse caso as raízes imaginárias vem aos pares, então para uma equação do segundo grau desse tipo, vamos ter duas raízes imaginárias. E como isso não pode acontecer, não podemos garantir a existência raizes reais, e da mesma forma não podemos garantir a existência de autovetores de em . Logo (a) é Falsa
E com essa informação, de quebra também descobrimos que a letra (c) é falsa, já que para ser base de um espaço, eu necessito de autovetores suficientes para isso. Mas como não garantimos que existe nem pelo menos autovetor em , quem dirá garantir que existe uma base de autovetores para né não! Então letra (d) é falsa também.
Passo 2
Belezoca galera, agora na letra (b) queremos analisar se possui ou não autovetores. A diferença pra letra (a) aqui, é que é uma matriz e dessa forma o polinômio característico é de grau .
E como vimos no Passo 1, as raízes imaginárias vêm aos pares, mas quando o polinômio é de grau , obrigatoriamente vamos ter 3 raízes. Então no pior dos casos, se existir raízes imaginárias, elas serão no máximo duas, fazendo sobrar uma raiz real.
E essa única raiz real, garante a existência de pelo menos autovetor em . Fazendo da letra (b), a alternativa correta.
Passo 3
E na letra (d), pra ser base de , seria necessário autovetores distintos. Mas a gente acabou de ver no Passo 2, que só conseguimos garantir a existência de autovetor. Logo, essa afirmativa também é falsa.
Resposta
Letra (b).