Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

A5 T2

Seja o espaço formado pelas combinações lineares das funções . Considere em a transformação linear que a cada vetor associa a derivada dessa função. Então:

tem dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores

tem dois autovalores distintos e duas direções de autovetores

tem dois autovalores iguais e duas direções de autovetores

tem autovalores complexos

Passo 1

Bom, vamos ver o que essa faz! Ela pega um polinômio do tipo:

E leva em algo assim:

Se escrevermos esses polinômios como vetores em função da base teremos:

Pronto, essa é nossa na base .

Passo 2

E agora sim, sabemos achar os autovalores dessa matriz:

Logo, nossa possui dois autovalores iguais, ! Para achar os autovetores basta resolvermos:

Assim, os autovetores são da forma , ou, voltando para nossa forma de polinômios:

Logo, temos dois autovalores iguais e apenas uma direção de autovetores.

Resposta

Letra

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Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )