Suponha que é autovalor de invertível e autovalor de com mesmo autovetor .
Determine o autovalor associado ao autovetor de:
Passo 1
A gente sabe que:
Eu quero saber o autovalor de .
Multiplicando dos dois lados:
Acontece que , lá de cima. Substituindo ali no lado direito da equação:
Então a matriz pode ser substituída pelo escalar na hora de multiplicar por , e por causa disso é autovalor associado ao vetor da matriz .
Passo 2
A gente sabe que:
Eu quero saber o autovalor de . E agora? Vou chamá-lo de .
Então é tal que:
Multiplicando a equação por dos dois lados, vai aparecer:
Mas agente sabe que !!!
Mas , da equação a gente já viu que , aí é só substituir:
Como todos sabemos que (hehehehe), então:
Então o autovalor da matriz é .
Passo 3
E o autovalor de , qual é?
É só fazer a mesma coisa que já fizemos antes.
Do enunciado, a gente sabe que:
Multiplicando nos dois lados dessa segunda equação, vai ficar:
Substituindo a igual dade eq. :
Então o autovalor da matriz é .
Passo 4
Agora , e eu quero saber o autovalor de .
Pega a primeira equação, .
Eu quero que apareça pelo menos esse , então eu vou multiplicar dos 2 lados da equação:
Vou fazer a mesma coisa com .
Multiplicando a equação dos dois lados por , fica assim:
Agora eu pego essas duas equações e somo:
Ih!
Oia que legal.
O autovalor de é ! =D
Resposta