Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.
Calcular
Qual a matriz do operador na base ?
Passo 1
Sabemos que a transformação dobra o comprimento do vetor sem alterar sua direção nem inverter seu sentido. Sendo assim, podemos dizer que é autovetor associado ao autovalor . Temos assim:
Analogamente, temos que é autovetor associado ao autovalor . Temos então:
Agora o que temos que fazer é escrevermos em função de e e nos aproveitarmos da linearidade da transformação. Temos:
Logo:
De
Substituindo em
Portanto,
Juntando todas essas informações, temos que:
Passo 2
Chamamos a base . Queremos então, . Para isso, basta escrevermos as imagens dos vetores da base como uma da base . Mas como essa é uma base de autovetores temos o seguinte:
Logo, nossa matriz fica:
Resposta