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Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Sejam α = { 1,1 , 0 ,   1,0 , 1 ,   0,1 , 0 } uma base de R 3 e T : R 3 ⟶ R 3 a transformação linear tal que:

  • T 1,1 , 0 = 0 , - 2,0
  • T 1,0 , 1 = 2,0 , - 2
  • T 0,1 , 0 = - 1 , - 2,0

a   Encontre T α

b   Encontre o polinômio característico de T

c   Encontre os autovalores de T

d   Encontre os autovetores de T

Passo 1

a   Bom, para encontrar a matriz T α , basta apenas escrevermos as imagens dos vetores da base α como uma C L da base α .

T 1,1 , 0 = 0 , - 2,0 = 0 ⋅ 1,1 , 0 + 0 ⋅ 1,0 , 1 - 2 ⋅   0,1 , 0

T 1,0 , 1 = 2,0 , - 2 = 4 1,1 , 0 - 2 1,0 , 1 - 4 0,1 , 0

T 0,1 , 0 = - 1 , - 2,0 = - 1 1,1 , 0 + 0 ⋅ 1,0 , 1 - 1 0,1 , 0

Logo nossa matriz fica assim:

T α = 0 4 - 1 0 - 2 0 - 2 - 4 - 1          

Passo 2

b   Agora basta calcular o polinômio característico da matriz acima, pois é a mesma coisa para qualquer base.

T α - λ I d α = - λ 4 - 1 0 - 2 - λ 0 - 2 - 4 - 1 - λ ⇒

p λ = det ⁡ T α - λ I d α = - λ - 2 - λ - 1 - λ - 2 - 2 - λ ⇒

- 2 - λ - λ - 1 - λ - 2 = - 2 - λ λ + λ 2 - 2 = - λ + 2 2 ( λ - 1 )

Passo 3

c   Para achar os autovalores, basta achar o polinômio característico:

Se - λ + 2 2 λ - 1 = 0 , então:

λ 1 = 1

λ 2 = λ 3 = - 2

Assim temos então dois autovalores, sendo o segundo deles repetido (multiplicidade 2 ). São eles:

λ 1 = 1

λ 2 = - 2

Passo 4

d   Agora faltam só os autovetores!

Vamos usar a propriedade:

T α - λ I d α u α = 0

Para λ = 1

- 1 4 - 1 0 - 3 0 - 2 - 4 - 2 ⋅ a b c = 0

- a + 4 b - c = 0 ⇒ - a - c = 0 0 a - 3 b + 0 c = 0 ⇒ b = 0 - 2 a - 4 b - 2 c = 0 ⇒ - 2 a - 2 c = 0

- a - c = 0 ⇒ c = - a

Assim, temos que:

u = a 1,1 , 0 + 0 1,0 , 1 - a 0,1 , 0 = a ( 1,0 , 0 )

Passo 5

Agora falta achar a relação de a com as coordenadas x , y , z :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 + c 0,1 , 0 ⇒

x = a + b ⇒ a = x - z y = a + c ⇒ c = y - x + z z = b

E finalmente!

u = x - z 1,0 , 0 = x 1,0 , 0 - z ( 1,0 , 0 )

Logo, os autovetores de λ = 1 são:

s p a n 1,0 , 0

Passo 6

Agora vamos achar os autovetores de λ = - 2 : T α - λ I d α v α = 0

2 4 - 1 0 0 0 - 2 - 4 1 a ' b ' c ' = 0

2 a ' + 4 b ' - c ' = 0 ⇒ c ' = 2 a ' + 4 b ' 0 = 0 - 2 a ' - 4 b ' + c ' = 0

v = a ' 1,1 , 0 + b '   1,0 , 1 + c ' 0,1 , 0 ⇒

v = a ' 1,1 , 0 + b '   1,0 , 1 + 2 a ' + 4 b ' 0,1 , 0 ⇒

v = ( a ' + b ' ,   3 a ' + 4 b ' ,   b ' )

Aplicando as relações do passo anterior:

v = x ,   3 x - 3 z + 4 z , z ⇒

v = x 1,3 , 0 + z ( 0,1 , 1 )

Logo os autovetores de λ = - 2 são:

s p a n 1,3 , 0 ,   0,1 , 1

Resposta

a   T α = 0 4 - 1 0 - 2 0 - 2 - 4 - 1          

b   p λ = - λ + 2 2 ( λ - 1 )

c   λ 1 = 1 λ 2 = - 2

d   s p a n 1,0 , 0 e s p a n 1,3 , 0 ,   0,1 , 1

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