Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

(b) Seja T : V → W uma transformação linear. Se u + v é autovetor de T associado ao autovalor 1 e u - v é autovetor associado a - 1 , então v ∈ I m T .

Passo 1

(b) Lembra que se w é autovetor de T associado ao autovalor λ , então:

T w = λ w

Aplicando essa definição para os dados do enunciado:

T u + v = u + v

T u - v = - u + v

Passo 2

Como a afirmação também disse que a transformação é linear, então podemos usar que a transformação da soma é a soma das transformações:

T u + v + u - v = T u + v + T u - v

T 2 u = u + v - u + v

T 2 u = 2 v

Além disso, podemos colocar esse dois que multiplica o u pra fora:

2 T u = 2 v

∴ T u = v

Ou seja, existe um vetor no domínio que ao ser transformado retorna o vetor v.

Logo, v pertence à imagem da transformação T e a afirmação é verdadeira.

Resposta

(b) Verdadeira.

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