Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

Seja u um autovetor unitário da matriz simétrica A, relativo ao autovalor λ . Seja f x = x T A x a forma quadrática associada a A. Assinale o valor de f u .

(a) 1 .

(b) λ

(c) λ 2

(d) | λ |

Passo 1

Se u é autovetor associado a autovalor λ da matriz A, então pela definição:

A u = λ u

Substituindo u na forma quadrática de A:

f u = u T A u

Trocando A u por λ u :

f u = u T λ u = λ u T u

Mas podemos usar que:

u T u = u , u = u 2

Só que o vetor u é unitário, logo sua norma é 1.

Portanto:

u T u = 1

E:

f u = λ × 1 = λ

Resposta

(b) λ

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