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Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q14

Seja T : R 3 → R 3 um operador linear cuja matriz, em relação à base canônica de R 3 , é simétrica e cujo polinômio característico é p t = - t t + 1 2 . Sabendo que 1,0 , 1 ∈ K e r ( T ) , é correto afirmar que T ( 1,2 , 3 ) é igual a:

Escolha uma opção:

  1. ( - 1 , - 4 ,   1 )
  2. - 3 ,   9 ,   3
  3. - 4 ,   6 ,   4
  4. ( - 3 , - 6 ,   3 )
  5. ( 1 , - 2 , - 1 )

Passo 1

Faaaaala, pessoal! Sempre que falarmos de operador simétrico nos reais, estamos falando de um operador hermitiano. Esses por sua vez têm base de autovetores ortonormal U = ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 ) tal que possamos diagonalizar como:

T = P D P - 1

Com D diagonal contendo seus autovalores e P = [ u 1   u 2   u 3   ] de colunas formadas por esses autovetores. Contudo, se uma matriz possui suas colunas formadas por um conjunto ortonormal de vetores, esta é ortogonal: P - 1 = P t , tal que:

T = P D P t

Passo 2

As raízes do polinômio característico são 0 ,   - 1 ,   - 1 os autovalores e portanto K e r ( T ) é o espaço gerado pelo autovetor de 0 . Como dim ⁡ K e r ( T ) = 1 , devido a multiplicidade da raiz 0 , temos que 1,0 , 1   é gerado por um e ele próprio é autovetor de T .

Se considerarmos seu múltiplo normalizado, teremos u 1 = 1 2 ,   0 , 1 2 como 1° elemento de U . Um outro elemento u 2 = ( a , b , c ) é tal que:

u 2 ⋅ u 1 = 0 ⇒ a 2   + c 2 = 0 ⇒ c = - a

Para normalizá-lo:

u 2 = a 2 a 2 + b 2 , b 2 a 2 + b 2 , - a 2 a 2 + b 2

Agora, o terceiro tem de ser ortogonal aos dois anteriores, logo:

u 3 = ± u 1 × u 2 = ± i j k 1 2 0 1 2 a 2 a 2 + b 2 b 2 a 2 + b 2 - a 2 a 2 + b 2    

= ± 1 2 a 2 + b 2 1 2 i j k 1 0 1 a b - a

= ± 1 4 a 2 + 2 b 2 ( - b , 2 a , b )    

Como autovetores independem de múltiplos, desprezaremos o fator ± 1 e tomaremos:

u 3 = 1 4 a 2 + 2 b 2 ( - b , 2 a , b )    

Dessa forma, podemos construir:

P = u 1   u 2   u 3 = 1 2 a 2 a 2 + b 2 - b 4 a 2 + 2 b 2 0 b 2 a 2 + b 2 2 a 4 a 2 + 2 b 2 1 2 - a 2 a 2 + b 2 b 4 a 2 + 2 b 2

D = 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Dessa forma,

T = P D P t =

= 1 2 a 2 a 2 + b 2 - b 4 a 2 + 2 b 2 0 b 2 a 2 + b 2 2 a 4 a 2 + 2 b 2 1 2 - a 2 a 2 + b 2 b 4 a 2 + 2 b 2 0 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 1 2 0 1 2 a 2 a 2 + b 2 b 2 a 2 + b 2 - a 2 a 2 + b 2 - b 4 a 2 + 2 b 2 2 a 4 a 2 + 2 b 2 b 4 a 2 + 2 b 2

= 0 - a 2 a 2 + b 2 b 4 a 2 + 2 b 2 0 - b 2 a 2 + b 2 - 2 a 4 a 2 + 2 b 2 0 a 2 a 2 + b 2 - b 4 a 2 + 2 b 2 1 2 0 1 2 a 2 a 2 + b 2 b 2 a 2 + b 2 - a 2 a 2 + b 2 - b 4 a 2 + 2 b 2 2 a 4 a 2 + 2 b 2 b 4 a 2 + 2 b 2

= - a 2 + b 2 2 2 a 2 + b 2 - a b - 2 a b 2 2 a 2 + b 2 - - a 2 - b 2 2 2 a 2 + b 2 - a b - 2 a b 2 2 a 2 + b 2 - b 2 + 4 a 2 2 2 a 2 + b 2 - - a b + 2 a b 2 2 a 2 + b 2 - - a 2 - b 2 2 2 a 2 + b 2 - - a b + 2 a b 2 2 a 2 + b 2 - a 2 + b 2 2 2 a 2 + b 2 =

= - 1 / 2 0 1 / 2 0 - 1 0 1 / 2 0 - 1 / 2

Independente do valor de a e b .

Passo 4

Assim, como T 1,0 , 1 = ( 0,0 , 0 )

T 1,2 , 3 = T 1,0 , 1 + 0,2 , 2 = T 1,0 , 1 + T ( 0,2 , 2 )

= T 0,2 , 2 =

= - 1 / 2 0 1 / 2 0 - 1 0 1 / 2 0 - 1 / 2 0 2 2

= 1 - 2 - 1

Resposta

e .     ( 1 , - 2 , - 1 )

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