UFRJ, P3-2019.1
A matriz
- Possui três direções de autovetores.
- Possui apenas duas direções de autovetores.
- Não possui autovetores.
- Possui apenas uma direção de autovetores.
Passo 1
Belejóia galerinha, queremos saber quantas direções de autovetores nossa matriz possui. Cada autovetor, representa direção de autovetor, então quer dizer que para autovetores distintos vamos ter direções distintas, então na verdade queremos saber quantos autovetores nossa matriz possui. Então pra gente ficar de boinhas, vamos descobrir todos os autovetores que temos, aí sim poderemos dizer qual alternativa é a correta.
Então saca só, pra encontrarmos os autovetores da matriz, antes precisamos encontrar os autovalores. E pra isso, podemos usar a equação:
Onde é a matriz
O termo , é a matriz identidade com os autovalores na diagonal principal, . Então se o determinante dessa matriz resultante for igual a zero, os valores de que fizerem isso acontecer, vão ser os nossos autovalores.
Passo 2
A diferença entre as matrizes é:
Agora se a gente colocar isso dentro do determinante, vamos obter:
E como a matriz é triangular superior, temos que o determinante se resume ao produto da diagonal principal, desse jeito:
E como o determinante é igual a zero:
E esse polinômio tá bonitinho já, é só a gente ver os valores de que zeram cada termo dentro do parêntese. Dessa forma, os autovalores são:
Passo 3
Show de bolinhas, agora para calcular os autovetores, usamos a relação:
Onde é o nosso autovetor e
Então para , temos que:
Passando para forma de sistema, temos:
Passando tudo para o outro lado do igual, vamos ter que:
Então as informações que conseguimos tirar é que:
E além disso:
Logo, nosso autovetor é:
Iradoso, agora para o outro autovalor, temos , então:
Passando para forma de sistema, temos:
Passando tudo para o outro lado do igual, vamos ter que:
Logo, temos que na segunda linha , e da primeira linha, tiramos que;
Então nosso autovetor é:
Iradoso demais, então quer dizer que de acordo com nossos cálculos, temos apenas dois autovetores associados aos nossos dois autovalores.
E se temos apenas dois autovetores, quer dizer que temos apenas duas direções de
autovetores.
Alternativa (b).
Resposta
Letra (b).