PUCRIO, G4-2019.2
Considere as bases de :
E a transformação linear cuja matriz na base é
- Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base canônica para a base .
- Sabendo que a mariz mudança de base da base canônica para a base é:
- Determine explicitamente a matriz da transformação linear na base .
- Escreva, se possível, uma forma diagonal de .
Determine explicitamente a matriz de mudança de ase da base para a base .
Passo 1
Belezera galerinha bonita, na letra (a) ele quer que a gente encontre a matriz mudança de base, da base canônica para a base . E a malandragem aqui, é que podemos primeiro encontrar a matriz que faz exatamente o contrário, ou seja, a matriz mudança de base da base para a base canônica. Porque pra encontrar essa matriz, basta a gente colocar os vetores da base nas colunas da matriz , saca só:
Logo:
E como queremos exatamente o contrário dessa mudança, podemos malandramente inverter nossa matriz. Como a gente é sagaz, vamos usar nossa fórmulazinha pra inverter matrizes , seja:
Sua inversa será:
Logo para nossa matriz , temos que:
Portanto nossa matriz mudança de base da canônica para é dada por:
Passo 2
Show de bolinhas, já na letra (b), queremos encontrar uma matriz que sai da base e vai para a base . Iradoso, a gente tem a matriz que pega um vetor da base canônica e leva pra base , é a nossa matriz
E no Passo 1, a gente viu a matriz que sai da base e vai para a base canônica, dada por :
Então se a gente quer a matriz que sai da base e vai para a base , é só a gente aplicar as matrizes e em sequência, afinal, pega a base a e leva pra base canônica, e logo em seguida vai pegar dessa canônica e levar finalmente pra base . Vamos chamar essa matriz de , logo:
Resolvendo essa multiplicação, obtemos:
Passo 3
Agora na letra (c), ele quer que e a gente escreva a transformação na base , ou seja, . E pra fazer isso, a gente usa a formulazinha bonitinha dada por:
Onde é a matriz mudança de base da base pra base , enquanto é a transformação escrita na base . E coincidentemente já descobrirmos a matriz , e a matriz o enunciado fez a caridade de nos dar, logo:
E para podemos usar o algoritmo para inversas. Seja sua inversa será:
Logo, para temos:
Portanto nossa transformação é escrita como:
Resolvendo esse produto, obtemos:
Passo 4
E por fim, na letra (c), queremos encontrar (se existir) uma forma diagonal para . Só que a gente só tem as matrizes e , maaaaassss, isso não é um problema pra gente, afinal para escrever uma forma diagonal, precisamos apenas dos autovalores de uma matriz, e esses autovalores serão os mesmos independente da base que estivermos trabalhando, isto é, os autovalores de são iguais aos autovalores de e iguais aos de . E como a gente não é bobo nem nada, bora pegar a matriz mais bonitinha:
E pra calcular os autovalores da matriz, montamos um polinômio através da relação:
Abrindo esse determinante, obtemos:
E resolvendo esse produto notável:
Logo:
E suas raízes são:
Portanto as formas diagonais possíveis para são: