PUCRIO, G3-2019.2
Considere a base ortonormal de
Os vetores estão escritos na canônica.
- Considere o vetor cujas coordenadas na base canônica são . Determine a primeira coordenada do vetor na base .
- Determine explicitamente a matriz na base canônica.
- Determine uma base de formada por autovetores da transformação linear (escritos na base canônica).
- Seja a matriz da transformação linear na base canônica. Determine todos os autovalores da matriz .
Considere as transformações lineares
Cujas matrizes na base são, respectivamente:
Passo 1
Belezera pessoal, na letra (a) queremos encontrar a primeira coordenada do vetor:
Na base dada por:
Logo, se vamos escrever o vetor nessa base, verificamos que:
Onde o vetor na base é dado por:
Portanto, a primeira coordenada de é , só que essa constante multiplica apenas o primeiro vetor da base , e o mais legal de tudo é que todos os outros vetores são ortonormais a ele. Então a gente pode usar de toda malandragem do mundo para isolar essa constante , vamos aplicar o produto interno por dos dois lados da igualdade, desse jeito:
Distribuindo esse produto interno, temos:
E como os vetores são ortonormais, o produto interno entre vetores distinto é igual a , enquanto o produto interno com o próprio vetor é igual a , tal que:
Isso quer dizer que nossa primeira coordenada é dada pelo produto interno entre e :
Passo 2
Belezoca meus amores, agora na letra (b) queremos encontrar a matriz na base canônica. Só que nós, só temos ela escrita na base :
MAAASS a regrinha para a mudança de bases ortogonais, diz pra gente que a matriz na base canônica é dada por:
Onde é a matriz formada pelos vetores da base nas suas colunas:
E como é uma base ortonormal, é uma matriz ortogonal, e devido a essa característica, temos que:
Logo:
Portanto, resolvendo essa multiplicação matricial, chegamos que:
Passo 3
Belezoca pessoal, na letra (c), para encontrar uma base de autovetores, a gente pode olhar pro nosso exercício anterior. Lá a gente decompôs nossa matriz como:
E essa é exatamente a famosíssima decomposição espectral, onde é a matriz diagonal que possui os autovalores, enquanto é a matriz que possui os autovetores nas colunas. Logo, uma base de autovetores para , é formada pelas colunas de , só que essas colunas são formadas por pura coincidência pela base .
Portanto uma base de autovetores de é a própria base .
Passo 4
Iradoso galeris, agora na letra (d), estamos afim de descobrir os autovalores da matriz na base canônica, só que nós, temos ela somente na base :
Então devemos mudar de base igual fizemos com a matriz , desse jeito:
Logo:
Tal que o resultado dessa multiplicação, é exatamente igual a matriz inicial:
Portanto, os autovetores serão dados através da relação:
Portanto temos que a solução desse polinômio é:
Onde possui multiplicidade dois, devido o termo estar ao quadrado.