Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Uma função diferenciável cresce mais rapidamente no ponto na direção de com taxa de variação igual a .
- Determine .
- Seja a superfície de nível de que passa pelo ponto . Encontre a equação do plano tangente a nesse ponto.
Passo 1
a) Queremos encontrar a derivada parcial de em relação à no ponto . Como a gente faz isso sem a função?
O enunciado diz para gente que cresce mais rapidamente nesse ponto na direção de um vetor . Aí que está sacada: toda vez que a gente ouvir que uma função cresce mais rapidamente numa direção, a gente tem que pensar que é a mesma direção do vetor gradiente.
Como, nesse caso, e o vetor gradiente tem a mesma direção, podemos dizer que eles são paralelos (múltiplos):
Mas aí a gente fica com uma incógnita a mais: . Então a gente precisa de mais uma equação para solucionar esse problema.
Mas calma! O enunciado também dá o valor da derivada na direção desse vetor: . Se essa é a direção de maior crescimento, o valor da derivada é igual ao valor do módulo do vetor gradiente nesse ponto. Por isso, a gente pode dizer que:
Com essas informações, podemos achar a derivada parcial que ele pede. Vamos lá!
Passo 2
Usando a primeira informação:
Substituindo as informações do enunciado:
Isso vira um sistema de equações:
E a gente sabe que porque ambos os vetores têm a mesma direção.
Passo 3
Agora a gente precisa achar para descobrir o valor de cada uma dessas derivadas, usando a segunda informação, temos:
E do passo anterior:
Calculando o módulo de
Passo 4
Sabendo que :
Como a gente queria derivada parcial em relação à , nossa resposta é: .
Passo 5
b) Agora ele quer o plano tangente a uma superfície de nível nesse mesmo ponto.
A gente sabe que a superfície de nível tem essa cara:
E para achar a equação do plano, a gente precisa achar o vetor normal a essa superfície no ponto dado, fazendo:
Só que como a única diferença entre e é uma constante . Podemos dizer que:
Aí a equação que a gente precisa achar é:
Passo 6
Da letra a temos que:
Substituindo na equação do plano e rearrumando:
Multiplicando os dois lados da equação por :
Nossa equação fica: