Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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A derivada direcional de num ponto é maior na direção e sentido de . Nessa direção o valor da derivada é . Qual é o gradiente de em ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das demais alternativas.
Passo 1
Vamos relembrar a fórmula da derivada direcional:
E ele nos deu . Logo,
E temos . Então só falta calcular seu módulo:
Passo 2
Então vamos ter
Multiplicando por dos 2 lados:
Passo 3
Agora tem que ficar atento no enunciado!
Ele disse que a derivada direcional é maior na direção e sentido de , e isso é uma característica do gradiente (a função cresce o mais rápido no sentido do gradiente).
Isso significa que e são paralelos, então o ângulo entre eles é zero. E por que eu disse isso? Pra gente aproveitar das propriedades do produto escalar!
O produto escalar de 2 vetores é o produto dos módulos dos vetores vezes o cosseno do ângulo entre eles, logo:
Passo 4
Lembrando que , vamos ter:
Show! Achamos que o gradiente é 2 vezes maior que , e já sabemos que eles têm a mesma direção e sentido, então
Resposta
Alternativa (d)