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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - UERJ - Lista 3, Questão 10b

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

b)

f x , y = sin ⁡ x y , 1,0

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos deu uma função f e um ponto, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção.

Para encontrarmos a taxa de variação máxima, basta calcularmos o módulo do vetor gradiente.

Nesse sentido, primeiramente a gente calcula as derivadas parciais das coordenadas e logo em seguida montamos a regra geral do vetor gradiente, que é dada por:

∇ f x , y = f x , f y

Por fim, substituímos as coordenadas nos pontos dados!!

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais sabendo que f x , y = sin ⁡ x y .

Aplicando a regra da cadeia em cada uma, obtemos:

f x = y * cos ⁡ x y

f y = x * cos ⁡ x y

Assim, nosso vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y = y * cos ⁡ x y , x * cos ⁡ x y

Assim, substituindo a equação no ponto dado, obtemos o ponto em que ocorre a máxima taxa de variação:

∇ f 1,0 = 0 * cos ⁡ 1 * 0 , 1 * cos ⁡ 1 * 0 ∴

∇ f 1,0 = 0 , cos ⁡ 1 ∴

∇ f 1,0 = 0,1

Dessa forma, a taxa de variação é dada por:

∇ f 1,0 = 1 2 + 0 2 ∴

∇ f 1,0 = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ f 1,0 = 1

0,1

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