Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , em que , e são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas . O eixo positivo aponta para Leste e o eixo positivo aponta para Norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?

Só precisamos encontrar agora o vetor gradiente, certo? Vamos lá! Pegamos a função, derivamos em relação a cada variável e montamos o vetor:

Agora, jogamos esse gradiente na equação da derivada direcional, tendo e , que são as coordenadas do ponto que estamos:

Assim, se andarmos para o Sul, teremos taxa de variação positiva de

b) Beleza, vamos fazer a mesma coisa, só precisamos mudar o vetor, certo? Nordeste está exatamente entre o Norte e o Leste. Para quem não consegui visualizar:

Logo, o vetor diretor da direção Nordeste é , certo? Ele faz certinho com os eixos cartesianos :)

Mas, atenção: o vetor não é unitário! Então, precisamos dividir pela sua norma, que será a raiz quadrada das coordenadas ao quadrado, ou seja

Ok, jogando tudo na equação da derivada direcional novamente, mas, agora para o vetor ,

Logo, estaremos descendo a uma taxa de !

c) A direção e maior taxa de variação é a direção do vetor gradiente (decore isso, é pra estar no sangue!). Assim, para sabermos a taxa de variação, vamos encontrar a norma do vetor gradiente, apenas isso! Se, para o ponto o vetor gradiente é, então, sua normal será:

Assim, estaremos variando nossa altura a !