Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Derivadas Direcionais
Considere a função:
- Determine a taxa de variação máxima de em e a direção em que isso ocorre.
- Calcule a derivada direcional de em na direção do vetor .
- Mostre que
Passo 1
a)
Essa tem que estar no sangue: A taxa de variação máxima (maior valor da derivada direcional) ocorre na direção do vetor gradiente!
Assim, vamos calcular as derivadas parciais, que formam o vetor gradiente. Se a função é:
Sua derivada em relação a fica, pela regra da cadeia,
E em relação a fica, também pela regra da cadeia,
E o vetor gradiente é:
Como é no ponto , temos:
Passo 2
Beleza, também deve estar no sangue que o valor da derivada direcional máxima vai ser
Lembrando que o ponto que queremos calcular a derivada direcional é o ,
Tirando a norma do nosso vetor, temos:
E chegamos na resposta: A maior taxa de variação é
Passo 3
b)
Essa é basicamente a mesma coisa que a letra anterior. Pega a definição da derivada direcional e parte pro abraço:
Agora nosso vetor diretor não é o vetor gradiente (pelo simples fato deles terem dado um específico). Então temos que calcular sua norma e depois fazer o produto escalar dele pelo vetor gradiente. Tendo calculemos a norma:
Passo 4
Pegando essa norma que encontramos, e jogando na equação da derivada direcional para o ponto , temos:
como ,
E enfim, chegamos no valor da derivada direcional :)
Passo 5
“Mostre que”. Intimidador, não? Enfim, só vamos derivar e em relação a e a novamente e ver se é igual, isso já mostra pro cara que a relação vale ;)
Pegando as coordenadas do vetor gradiente, já temos as primeiras derivadas,
Pegando a primeira coordenada e derivando em relação a de novo pela regra do quociente,
Pegando a segunda coordenada e derivando em relação a de novo, pela regra do quociente também,
Passo 6
Agora é pegar as duas e somar. Se der é porque fizemos certo!
Resposta
- A maior taxa de variação é