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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 6 – Exercício 30

(Capítulo 14.6 – Exercício 30) Próximo a uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas (x,y) é z = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y ³ , onde x, y, e z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.

Passo 1

E aíí gente, tudo certo?

Aqui é o seguinte, para descobrir se a profundidade irá aumentar ou diminuir, vamos ver se a derivada direcional é positiva ou negativa, lembrando que a derivada direcional é dada assim:

D u f =   ∇ f x , y . u

E nesse caso, o vetor u , que determina a direção, será o vetor que vai do ponto ( 80,60 ) ao ponto ( 0,0 ) :

u = 0,0 - 80,60 = ( - 80 , - 60 )

Como o vetor deve ser unitário para aplicarmos na fórmula, vamos dividir ele pelo módulo dele mesmo:

u = 1 100 - 80 , - 60 = - 4 5 , - 3 5

Passo 2

Pra aplicar as derivadas direcionais, também precisamos do gradiente da função z = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y ³ , e vamos obter isso encontrando as derivadas parciais:

f x = 0,04 x

f y = - 0,003 y ²

Então o vetor gradiente é

∇ f x , y = 0,04 x , - 0,003 y 2

Aplicando no ponto ( 80,60 ) :

∇ f 80,60 = 3,2 ; - 10,8  

Então, a derivada direcional vai ser

D u f =   ∇ f 80,60 . - 4 5 , - 3 5

D u f =   3,2 ; - 10,8 . - 4 5 , - 3 5 = 3,92

Como D u f > 0 , temos que a profundidade está aumentando na direção da bola, fechou?

Resposta

A profundidade está aumentando na direção da bola.

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