Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 15
Um ponto se desloca, a partir do ponto , no plano . A trajetória de é parametrizada pela curva
onde , , , são constantes reais. Suponha que a direção e o sentido do vetor tangente à trajetória de , no instante sejam aqueles de maior crescimento da função no ponto . Sabendo que , em qual ponto cruza o eixo ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Fala galera, vamos resolver mais uma questão de cálculo 2 da POLI!!!
A trajetória de um ponto é parametrizada pela curva
O enunciado diz que a direção e o sentido do vetor tangente a essa curva em são aquela de maior crescimento da função no ponto . Assim, vamos determinar primeiro qual é essa direção!
Sabemos que a direção de maior crescimento de uma função é dada pelo vetor gradiente:
Assim, como :
Portanto, a direção de maior crescimento de é
Essa é a direção do vetor tangente a em .
Passo 2
Assim, devemos ter que e que seja paralelo a . A primeira condição nos leva a
Já para a segunda condição, temos que achar :
Mas antes de qualquer coisa, lembre-se que . Sabemos que
Mas
Portanto,
Com isso,
Temos que resolver dois sistemas:
Somando as equações:
Assim,
Logo,
Passo 3
Queremos achar o ponto em que essa curva corta o eixo . Para isso, temos que zerar a coordenada :
Portanto,
Substituindo isso na coordenada :
Assim, a curva intercepta o eixo no ponto
Isso nos leva a alternativa A 😊
Resposta
Alternativa A.