Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Seja diferenciável. Sabendo-se que no ponto o vetor aponta na direção e sentido de maior crescimento de em e que a derivada direcional de no ponto na direção de é determine .
Passo 1
Bem... o que a gente quer é o vetor gradiente no ponto , e a gente já sabe uma coisa muito importante sobre o vetor gradiente:
- O vetor gradiente, sempre aponta para o sentido de maior crescimento de uma função
A gente deve lembrar, em primeiro lugar, que um vetor na direção do outro se diferencia apenas por um múltiplo escalar, um número real qualquer, por exemplo: , logo tem a mesma direção .
Se lembrando também que vetor unitário é o vetor dividido pelo seu módulo, teremos que o vetor gradiente de no ponto será justamente um múltiplo escalar do vetor unitário na direção de , ou seja:
Logo, resolver o problema, é justamente encontrar o valor dessa constante , bora lá?!
Passo 2
Vamos chamar aquele vetor unitário na direção de de . Assim, teremos
Calculando o módulo de se lembrando que módulo de um vetor é a raiz das somas dos quadrados de suas entradas...
Logo, teremos que
Passo 3
Para a gente determinar agora, vamos utilizar a informação do problema que a gente ainda não utilizou: a derivada direcional :)
A gente sabe que a derivada direcional na direção de um vetor é o produto interno do gradiente pelo vetor unitário naquela direção, o , ou seja
Se a gente substituir , teremos
A constante , pode sair do produto interno
Se lembrando que , e módulo de um vetor unitário é , teremos
Mas, o problema nos disse que a derivada direcional é , logo
Passo 4
A gente conclui então que o gradiente é dado por
Simplificando...