Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 6 – Exercício 32
(Capítulo 14.6 – Exercício 32) A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por onde T é medido em ºC e x, y, z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(2, -1, 2) em direção ao ponto (3, -3, 3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.
Passo 1
Saaalve pessoal, vamos lá pra mais uma de derivadas direcionais
Temos a função , e aí vamos encontrar alguns parâmetros relacionados à derivada dela
Primeiramente, devemos calcular as derivadas parciais para cada coordenada, o que vai nos dar o vetor gradiente
A partir do vetor gradiente e do vetor unitário de direção, podemos encontrar a derivada direcional
Por fim, devemos no item c que encontrar o valor máximo da taxa de crescimento, que é o módulo do vetor gradiente.
Então vamooo
Passo 2
a) Encontrando as derivadas parciais:
Então, o vetor gradiente é
Aplicando no ponto :
Passo 3
O vetor que determina a direção que queremos vai do ponto em direção ao ponto
Mas esse vetor deve ser unitário, então dividimos pelo módulo dele mesmo:
Passo 4
Dessa forma, temos que a derivada direcional vai ser
Então:
Passo 5
b) A direção de maior crescimento é a direção do vetor gradiente:
Dividindo tudo por , temos a direção:
Passo 6
c) Por fim, a taxa máxima de crescimento é dada pelo módulo do vetor gradiente
E fimmm!
Resposta
a)
b)
c)