Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - UERJ - Lista 3, Questão 12b
A temperatura é graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano e . A distância é medida em metros.
- Ache a direção e o sentido em que a taxa de variação é máxima em .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos deu uma função e um ponto, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima de no ponto dado.
Para encontrarmos a taxa de variação máxima, basta calcularmos o módulo do vetor gradiente.
Nesse sentido, primeiramente a gente calcula as derivadas parciais das coordenadas e logo em seguida montamos a regra geral do vetor gradiente, que é dada por:
Depois é só substituir pelo ponto dado que encontramos a direção!!
Por fim, subtraímos o ponto que encontramos pelo que a questão nos deu e encontramos o sentido!!
E aí? Bora lá??
😉
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais sabendo que .
Aplicando a regra da potência, obtemos:
Assim, nosso vetor gradiente é dado por:
Assim, substituindo a equação no ponto dado, obtemos o ponto em que ocorre a máxima taxa de variação:
Passo 3
Agora, vamos chamar de o vetor que descreve o sentido.
Como foi dito no Passo 1, para encontrar esse vetor, subtraímos o ponto que encontramos pelo que a questão nos deu:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
