Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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UFPE, Cálculo 2, EF, 2014.2, questão 2
Suponha que o potencial em uma lâmina plana é dado por
Onde é medido em volts e e em centímetros.
- Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo , e em qualquer direção paralela ao eixo .
- Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor
- Qual é a taxa máxima de variação no ponto ?
- Em que direção, a partir da origem, o potencial cresce mais rápido?
Passo 1
- O que ele quer nada mais é do que as derivadas parciais. Calculando, temos:
- Sabemos que:
- A taxa máxima de variação é dada pelo módulo do gradiente. Vai ficar:
- A direção de mais rápido crescimento é a do gradiente. Vamos ter:
A taxa de variação na direção paralela ao eixo x vai ser:
Em que . Calculando as derivadas parciais:
Então:
E na direção do eixo y:
Passo 2
Onde é um vetor unitário. Portanto:
Substituindo
Passo 3
Passo 4
Resposta
a) ,
b)
c)
d)
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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )