(Capítulo 14.6 – Exercício 34) Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , onde x, y e z são medidos em metros e você está em um ponto com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.

(a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? A que taxa?

(b) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

(c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

a) Encontrando as derivadas parciais:

Então, temos o vetor gradiente

Aplicando no ponto :

Como estamos indo para o sul, estamos indo na direção negativa do eixo y, ou seja:

Então:

=0,8

Logo, se andar para o sul você irá subir uma taxa de 0,8m na vertical para cada metro na horizontal, show?

b) Para o noroeste, temos a direção , que é à esquerda no horizontal e acima no vertical

Como o vetor tem que ser unitário, vamos dividir ele pelo módulo dele mesmo:

Então:

c) A direção com maior taxa de variação de subida é a direção do vetor gradiente:

Essa taxa é dada por

=

E para encontrarmos o ângulo, vamos fazer:

Logo, o ângulo com o horizontal é 45°.

E fimmmm!