Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
Ver TeoriaEnunciado
UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 2.3
Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por
3. Qual é a taxa máxima de variação em P?
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema nos deu essa equação de potencial :
E no item 1 dessa questão perguntou qual era a taxa de variação desse potencial na direção de um determinado vetor e no ponto
Encontramos assim a derivada direcional de em . Já no segundo item ele perguntou qual é a direção em que varia mais rapidamente em
E eu respondo para você: a direção em que qualquer superfície varia mais em um determinado ponto é o VETOR GRADIENTE NESSE PONTO!
Essa é justamente a definição desse vetor! O vetor gradiente tem como principal característica ser um vetor na direção da maior (ou menor se for – o gradiente) taxa de variação da função em um determinado ponto!
E agora o problema pergunta qual é o valor dessa taxa de variação máxima! É O MÓDULO DO VETOR
Como já temos o vetor gradiente no ponto, agora nossa missão é encontrar a norma desse vetor:
E é isso que vamos fazer! Mas calma, vou relembrar os resultados e fazer passo a passo com você!
Passo 2
Resgatando o resultado temos o seguinte:
E o gradiente é:
Beleza? Agora basta aplicar no ponto :
E é isso! A direção em que o potencial varia mais rapidamente é a direção do vetor
Passo 3
E agora vamos calcular o módulo desse vetor:
Essa é a maior taxa de variação!
Ufa! Terminamos!