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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = 1,1 , 1 , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto x , y , z é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

  1. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
  2. Se a espaçonave viaja a e 8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?

Passo 1

a)

Atenção ele perder temperatura mais rápido não é a derivada direcional máximo, mas sim mínima porque ele quer PERDER temperatura!!

Essa direção é menos o gradiente. O gradiente vai ser

∇ T = - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

Passo 2

Vamos agora substituir o ponto P 0

∇ T P 0 = - 2 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 , - 4 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 , - 6 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2

∇ T P 0 = - 2 e - 6 , - 4 e - 6 , - 6 e - 6

A direção que ele pediu é menos isso

2 e - 6 , 4 e - 6 , 6 e - 6

Podemos arrumar esse rapaz feioso ai,

2 e - 6 1,2 , 3

A direção mais bonitinha vai ficar

u m i n = 1,2 , 3

Passo 3

b)

Como a direção é a de menor derivada direcional então podemos achar a derivada direcional pelo módulo do vetor gradiente.

∂ T ∂ u m i n = - ∇ T

Vamos então achar o módulo do vetor gradiente

∇ T = - 2 e - 6 1,2 , 3

∇ T 2 = 2 e - 6 2 1 2 + 2 2 + 3 2

∇ T = 2 e - 6 14

Vamos ter

∂ T ∂ u m i n = - 2 e - 6 14   ° C / m

Mas ele quer a variação no tempo. Vamos fazer a regra da cadeia

∂ T ∂ t = ∂ T ∂ u m i n ∂ u m i n ∂ t

Essa variação da direção pelo tempo é a velocidade dele

∂ T ∂ t = - 2 e - 6 14   .   e 8 = - 2 e 2 14   ° C / s

Resposta

  1. u m i n = 1,2 , 3
  2. ∂ T ∂ t = - 2 e 2 14   ° C / s

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