Seja

Considere um ponto pertencente à curva de nível de e que a derivada direcional máxima de em valha . Quantos pontos satisfazem a propriedade acima descrita?

nenhum

A segunda informação nos diz que a derivada direcional máxima de em vale .

A derivada direcional máxima nós já sabemos que é igual ao módulo do vetor gradiente. Assim, o módulo do vetor gradiente é .

Vamos calcular o vetor gradiente então.

O módulo do vetor gradiente é

E isso tem que ser igual a :

Assim, temos nossa segunda equação!

Podemos montar o sistema

Isolando na segunda equação

E substituindo na primeira:

Assim

Ou

E, como

Para cada um dos 3 valores de , teremos mais 2 valores de (já que é igual a uma raiz quadrada)

Assim, teremos pontos.