Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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A distribuição de temperatura em uma chapa metálica é dada por , onde é medido em graus Celsius e em metros. Se um sensor de temperatura se desloca a partir do ponto na direção e sentido da derivada direcional máxima nesse ponto, qual a temperatura após metros?
Passo 1
A direção e sentido da derivada direcional máxima é a direção e sentido do vetor gradiente de . Assim
No ponto :
Passo 2
Tá, mas ele quer saber qual vai ser a temperatura após o sensor andar um vetor do tamanho de metros.
De onde que ele tirou 5 metros??
Se você observar com carinho, o sensor ta saindo do ponto e andando 5 metros na direção e sentido do vetor gradiente.
Mas, o vetor gradiente é justamente um vetor de módulo igual a 5:
Então, o que acontece é que o sensor sai do ponto e anda exatamente o tamanho do vetor gradiente. Ou seja, ele anda na direção e na direção .
Assim, ele sai do ponto e chega no ponto .
Passo 3
Agora, para saber a temperatura nesse ponto, é só substituir ele na expressão de :