Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Direcionais
Seja uma função de classe em e considere dada por
- Calcule , e em termos das derivadas parciais de .
- Sabendo que o plano tangente ao gráfico de no ponto tem equação , determine o vetor e o valor de .
- Determine o vetor unitário tal que a derivada direcional de seja máxima.
Passo 1
a)
O enunciado nos deu que e . Juntando as duas coisas, temos, para a função , que:
Então,
Passo 2
Pela regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, derivando em relação a :
Passo 4
Pegando o resultado do passo anterior e calculando , temos:
Passo 5
b)
Para essa, basta a gente usar a fórmula do plano tangente!
Ou seja,
Como nosso ponto , fica
Passo 6
Como a equação do plano é , colocando na forma acima, teremos:
Comparando com a equação do passo 5,
Temos que
E
Logo,
Passo 7
Para saber o valor de , temos que
Basta trocar o valor de e no plano, que fica:
ou seja,
Passo 8
c)
A derivada é máxima no sentido do vetor gradiente. Assim, o que temos que fazer é calcular essa derivada direcional na direção do vetor gradiente de .
Tendo, então , vemos que, para o ponto fica:
Como queremos o vetor gradiente para pegar seu unitário (lembrando que tem a mesma direção que o gradiente), fazemos:
Só que da letra temos que e.
Logo, temos que
Passo 9
Substituindo os valores encontrados no item , e , teremos o valor do gradiente de no ponto :
Passo 10
Agora, finalmente, o passo final! Encontrar o vetor unitário do vetor gradiente! Esse sim é o vetor pedido no enunciado! Para isso, basta fazer a raiz quadrada dos quadrados das componentes somadas.
E o vetor unitário é , ou seja, o vetor (que fornece o sentido) dividido pelo seu módulo.
Resposta
a)
b) e
c)