Considere a função f(x, y, z) = x / (y + z) . Um vetor unitário u tal que a derivada direcional D_u f(1,1,1) seja máxima é:

  1. (2 / raiz(6), -1 / raiz(6), -1 / raiz(6))
  2. (1/raiz(3), -1/raiz(3), -1/raiz(3))
  3. (1/raiz(3), 2/raiz(6), 0)
  4. (2 / raiz(6), 1 / raiz(6), 1 / raiz(6))
  5. (1 / raiz(3), 1 / raiz(3), 1 / raiz(3))

Passo 1

Falou derivada máxima, já temos que pensar no vetor gradiente.

Já que ele quer saber o vetor cuja direção tem a derivada máxima no ponto 1,1 , 1 ,   podemos calcular o gradiente nesse ponto, porque a derivada é máxima na direção dele.

Mas como ele quer o vetor unitário, a gente vai achar ∇ f ( 1 , 1,1 ) e dividir pelo módulo dele.

Passo 2

Calculando o gradiente para essa função a gente fica com:

f x = 1 y + z

E usando a regra do quociente, temos que:

f y = 0 y + z - x 1 y + z 2 = - x y + z 2

f z =   0 y + z - x 1 y + z 2 = - x y + z 2

Passo 3

Substituindo o ponto 1,1 , 1 :

∇ f x , y , z = 1 y + z ,   - x y + z 2 , - x y + z 2

∇ f 1,1 , 1 = 1 1 + 1 ,   - 1 1 + 1 2 , - 1 1 + 1 2 = 1 2 ,   - 1 4 ,   - 1 4

Passo 4

Agora achando o vetor unitário:

∇ f 1,1 , 1 = 1 2 2 + - 1 4 2 + - 1 4 2 = 1 4 + 1 16 + 1 16 = 3 8 = 3 2 2

Multiplicando embaixo e em cima por 2 :

∇ f 1,1 , 1 = 3 2 2 ⋅ 2 2 = 6 4

u = ∇ f 1,1 , 1 ∇ f 1,1 , 1 = 1 2 ,   - 1 4 ,   - 1 4 6 4 = 2 6 , - 1 6 , - 1 6  

Essa é a letra a.

Resposta

Letra a

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