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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Seja

z = f x , y = x 2 x + 4 y

Então a derivada direcional máxima de f no ponto 2 , - 3 4 ocorre na direção do vetor:

  1. u = 3,4
  2. u = - 3,4
  3. u = 4 , - 3
  4. u = 4 , 3
  5. u = 2 , 3

Passo 1

A derivada direcional máxima ocorre na direção do vetor gradiente. Então vamos achar o vetor gradiente de f e esse vai ser o nosso vetor u .

f x , y = x 2 x + 4 y

Usando a regra do produto:

∇ f x , y = 2 x + 4 y + x ∙ 1 2 2 x + 4 y - 1 2 ∙ 2 ,   x ∙ 1 2 2 x + 4 y - 1 2 ∙ 4  

∇ f x , y = 2 x + 4 y + x 2 x + 4 y , 2 x 2 x + 4 y  

Passo 2

Substituindo no ponto 2 , - 3 4 :

∇ f 2 , - 3 4 = 2 . 2 + 4 . - 3 4 + 2 2 . 2 + 4 . - 3 4 , 2 . 2 2.2 + 4 . - 3 4

∇ f 2 , - 3 4 = 4 - 3 + 2 4 - 3 , 4 4 - 3

∇ f 2 , - 3 4 = 1 + 2 , 4

∇ f 2 , - 3 4 = 3 , 4 = u

Resposta

Letra a

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