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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

A equação da superfície de uma montanha é dada pela função

f x , y = 1200 - 3 x 2 - 2 y ²

Onde as medições de x e y são feitas em metros. Um alpinista se encontra no ponto P - 10,5 , f - 10,5

  1. Em qual direção o alpinista deve seguir para subir o mais rápido possível?
  2. Se o alpinista se mover na direção do eixo y positivo, ele estará subindo os descendo a montanha?

Passo 1

a )

A direção de crescimento mais rápido é a direção do vetor gradiente. Isso tem que estar no seu sangue!!

Assim, o que temos que fazer é calcular o vetor gradiente no ponto em que o alpinista está, apenas isso! Vamos lá então:

f x , y = 1200 - 3 x 2 - 2 y ²

∇ f x , y = f x , f y

∇ f x , y = - 6 x , - 4 y

Passo 2

Agora precisamos substituir no ponto P - 10,5 , f - 10,5 :

∇ f - 10 , 5 = - 6 . ( - 10 ) , - 4 . ( 5 )

∇ f - 10,5 = 60 , - 20

Assim, o alpinista sobe o mais rápido possível na direção do vetor ∇ f - 10,5 = 60 , - 20 .

Passo 3

b )

A direção do eixo y positivo é dada pelo vetor unitário v → = ( 0,1 ) . Então, para descobrir se o alpinista está subindo ou descendo quando percorre essa direção, temos calcular sua derivada direcional, na direção no vetor v → e ver se ela é positiva ou negativa.

Vamos lá:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

Como o vetor v já é um vetor unitário, não precisamos calcular seu módulo.

Além disso, já calculamos o vetor gradiente no ponto P . Só nos resta então fazer as substituições:

∂ f ∂ v - 10,5 = ∇ f - 10,5 ⋅ 0,1

∂ f ∂ v - 10,5 = 60 , - 20 ∙ 0,1

∂ f ∂ v - 10,5 = 60.0 - 20.1 = - 20 < 0

Ou seja, o alpinista está descendo a montanha a uma taxa de - 20 m/s

Resposta

  1. 60 , - 20
  2. Descendo.

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