Considere a função .

(a) Determine a taxa de variação da função em na direção do vetor .

(b) Em que direção varia mais rapidamente em ?

(c) Qual a taxa máxima de variação em ?

Então tá, vamos começar calculando esse vetor unitária na direção de . Lembra da fórmula para fazer isso?

O nosso vetor é , então:

E o próximo passo é calcular o gradiente da função:

Resolvendo cada derivada parcial separadamente, a gente vai encontrar o seguinte:

Então o vetor gradiente é:

E agora a gente pode jogar isso na fórmula lá de cima pra encontrar a derivada direcional:

Mas calma, você não vai ter que usar essa expressão complicada aí. Afinal de contas, a derivada direcional é calculada em um ponto. No nosso caso, o ponto é:

Substituindo isso na fórmula:

Agora cuidado pra não se confundir com o produto escalar, ele segue essa fórmula aqui:

Então:

Simplificando um pouco:

Pronto! Calculamos a derivada na direção do vetor.

Beleza, o próximo passo é descobrir a direção em que a função varia mais rápido no ponto .

Isso é a mesma coisa que perguntar qual é a direção do vetor gradiente no ponto ! Afinal de contas, esse vetor sempre dá a direção de maior variação da função.

E a gente já calculou o gradiente lá em cima:

No ponto , esse vetor vale:

Beleza, a direção em que a função varia mais rápido no ponto é a direção desse vetor.

(c) Agora, pra fechar a questão, o enunciado pediu a taxa de máxima variação da função nesse ponto.

É só tirar o módulo do vetor gradiente! Assim como o vetor gradiente aponta na direção de maior variação, o seu módulo é justamente igual a essa taxa!

Então:

Agora que a gente sabe o módulo do vetor gradiente, podemos aproveitar pra reescrever a resposta do item anterior usando um vetor unitário na direção do gradiente:

Usando a mesma fórmula que mencionamos lá em cima:

Beleza, já temos tudo que a questão pediu!